Обобщающий урок по математике на тему: «Первообразная и интеграл»

Целовальник Людмила Александровна

преподаватель математики Коммунальное государственное учреждение «Самарский аграрно-технический колледж» УО ВКО

Цель урока:

ü    повторить и обобщить материал по теме «Первообразная и интеграл»: таблицу первообразных, правила интегрирования, физический смысл первообразной; повысить у студентов положительную мотивацию к учению.

Задачи урока:

1)      образовательные:

ü    обобщить и систематизировать основные понятия изучаемой темы;

ü    отработать и закрепить практические навыки решения ключевых задач;

2)                 развивающие:

ü  продолжить формирование аналитического и логического мышления студентов;

ü  продолжить формирование у студентов навыков самостоятельной деятельности;

ü  пополнить интеллектуальный багаж студентов;

3)                 воспитательные:

ü    воспитывать коммуникативные компетенции;

ü    продолжить формирование общей и математической культуры студентов.

Тип урока: урок закрепления и комплексного применения знаний; выработки умений по их применению  вне учебной ситуации, развития практических навыков.

Методы и технологии обучения:

— словесный;

— наглядный;

— интерактивный;

— опережающие задания;

Приемы деятельности учителя:

— беседа;

— организация работы с таблицами, тестами.

Формы организации познавательной деятельности:

— фронтальная;

— индивидуальная.

Оборудование: интерактивные слайды по данной теме, таблицы, тесты.

План урока:

1.                   Постановка цели урока – 2 мин.

2.                   Вводное слово учителя  – 2 мин.

3.                   Опережающее задание (сообщение студента) – 8 минут

4.                   Повторение и обобщение материала по теме «Первообразная и интеграл» – 30 мин.

5.                   Домашнее задание – 1 мин. (На слайде презентации).

6.                   Подведение итогов урока. – 2 мин.

Ход урока.

1)  Постановка цели урока.

Отгадайте ключевое слово урока:

ü  С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

ü  Архимед назвал интегральным исчислением;

ü  Лейбниц законом мышления;

ü  Ньютон флюентой;

ü  Бывает двойной, тройной;

ü  Обозначается F(x) и

(Первообразная и интеграл)

Правильно. Это первообразная и интеграл. Мы изучаем первообразную и интеграл. А так ли это важно? В каких отраслях она применяется?

Преподаватель: Ежегодно на экзаменах по математике обязательно включаются задания по теме «Интеграл». Сегодня мы повторим материал по этой теме.

2)  Вводное слово учителя.

Преподаватель:

Математический анализ имеет две главные составляющие его части: дифференциальное и интегральное исчисления

«Интеграл»- «интегрирование» — «интеграция»… Однокоренные слова, вышедшие за пределы математики и ставшие почти «обиходными». В газетах мы читаем об интеграции наук, культур, интеграции экономики, политики также ведут речь об интеграционных процессах.

Итак, дифференцировать – значит «разделять» процесс, например, находить его мгновенную скорость в каждой отдельно взятой точке; интегрировать – значит «соединять», суммировать бесконечно малые части искомого целого.

Таким образом, операции дифференцирования («разделения») и интегрирования («суммирования») оказываются взаимно обратными (как, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня).

Инструментом для вычисления интегралов служит понятие первообразной функции. Операция нахождения первообразной является обратной по отношению к операции дифференцирования функции.

Овладев понятием первообразной функции, а затем и интеграла, мы сможем решать самые разнообразные алгебраические, геометрические и физические задачи.

Сегодня у нас необычный урок, потому что сегодня вы будете показывать истинную красоту человека, красоту своих знаний. Я бы очень хотела, чтобы вы сегодня были красивы не только внешне, но и внутренне.

Итак, мы начинаем.

— я желаю всем свои силы удвоить;

— объем знаний возвести в третью степень;

— пусть ваши возможности будут равновелики вашим пожеланиям;

— плохое настроение умножьте на 0.

Нас ждет большая и серьезная работа.

3)  Исторический экскурс. (опережающее задание)

В истории человечества есть идеи, которые, возникнув в глубокой древности, развиваясь и совершенствуясь, успешно служат и поныне. К таким идеям, безусловно, следует отнести метод интегрирования (суммирования специальным способом) тех или иных процессов.

Интеграл от лат. integer — целый, одно из важнейших понятий математики. Оно возникло в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным.

Интегральный метод зародился в трудах древнегреческого учёного Архимеда(III век до нашей эры) при вычислении им площадей и объёмов некоторых фигур и тел. Архимед предвосхитил многие идеи этого метода, но потребовалось свыше полутора тысяч лет, прежде чем они получили чёткое математическое оформление и превратились в интегральное исчисление.

Немецкий учёный Г. Лейбниц одновременно с английским учёным И. Ньютоном и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений в 80-х годах XVII века. Теория приобрела силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции. Об этом свойстве хорошо знал и Ньютон. Но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение символического метода. Всю свою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления, человеческую способность думать в виде математического исчисления.

Интеграл у Ньютона (флюента) выступал, прежде всего, как неопределённый, т. е. как первообразная. Понятие интеграла у Лейбница выступало, напротив, прежде всего в форме определённого интеграла в виде суммы бесконечного числа бесконечно малых дифференциалов, на которые разбивается та или иная величина.

Введение понятия интеграла и его обозначений Готфридом Лейбницем относится к осени 1675 г. Знак интеграла был опубликован в статье Лейбница в 1686 г. Термин «интеграл» впервые в печати употребил швейцарский учёный Якоб Бернулли в 1690 г . После чего вошло в обиход и выражение «интегральное исчисление» (Лейбниц сначала говорил о «суммирующем исчислении»).Вычисление интегралов производили Лейбниц и его ученики, первыми из которых стали братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они сводили вычисления к обращению операции дифференцирования, т. е. к отысканию первообразных (постоянная интегрирования в печати появилась в статье Лейбница в 1694 г.).

Подлинное открытие интегрального исчисления принадлежит двум великим ученым XVII века – Ньютону и Лейбницу.

4)  Повторение и обобщение материала по теме «Первообразная и интеграл».

I. Повторение теоретического материала

«Вы уже накопили некоторый опыт нахождения первообразной и интеграла. И сегодня мы посмотрим, чему же вы научились. Повторим теоретический материал».

Устный опрос:

1)      Что такое первообразная?

2)      Правила нахождения первообразной?

3)      Какие смыслы первообразной существуют?

4)      Что такое неопределенный интеграл?

5)      Что называется криволинейной трапеции?

6)      По какой формуле находиться площадь криволинейной трапеции?

7)      Что такое определенный интеграл?

8)      По какой формуле вычисляется определенный интеграл?

9)      Что значит проинтегрировать?

10)  Формула Ньютона-Лейбница?

II. Применение теоретического материала к решению задач.

«Рассмотрев теоретический материал вычисления первообразной и интеграла, применим его при решении задач».

В это время на интерактивной доске высвечиваются примеры для устного нахождения первообразной и интеграла (отвечают все студенты группы по цепочке).

a)      Найдите первообразную функции:


Функция
Первообразная
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

b)      Найдите интеграл функции:


Функция
Интеграл
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

После решения этих примеров на интерактивной доске высвечивается следующее задание для устного счета. Студенты находят соответствие функции и первообразной и интеграла с помощью программы ActivStudio.

c)      Установите соответствие:

Функция
Интеграл
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

d)     Вычислить интеграл. Работа около доски с помощью программы ActivStudio.

1.

5.
III. Решение задач (межпредметные связи)

Физическая задача

Задание
Найти работу материальной точки, которая перемещается под действием силы   на отрезке  .
Решение
По физическому смыслу определенного интеграла, искомая работа равна:

Ответ
A=2
IV. Самостоятельная работа

«Проведем контроль усвоенного материала. Для этого на ваших партах лежат тесты, необходимо решить тесты. На выполнение задание дается 5 минут»

Тестовое  задание

Вариант  1

Ф.И. _______________________________

. Найдите первообразную функции:

А)                В)

Б)          Г)
2. Вычислите неопределенный интеграл:

А)                      В)

Б)              Г)
3. Вычислите интеграл:

А)  4,25                         В

Б)  3,75                             Г)    3,25
4. Вычислите интеграл:

А)  0,5                         В)

Б)  1,5                           Г)
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2, у = 0, х = 6.

А) 36;                      В) 216;

Б) 108;                    Г) 72.
Тестовое  задание
Вариант  2

Ф.И. _______________________________

1. Найдите первообразную функции:

А)                В)

Б)          Г)
2. Вычислите неопределенный интеграл:

А)                      В)

Б)              Г)
3. Вычислите интеграл:

А)  6,25                      В)

Б)  6,75                        Г)  6,2
Вычислите интеграл:

А)  0,5                         В)

Б)  1,5                           Г)
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2, у = -3, х = 3.

А)   9                                В)   27

Б)   18                               Г)   13,5
4)      Домашнее задание

Повторить:

1) Таблицу первообразной и интеграла.

2) Правила интегрирования.

3) Алгоритмы решения ключевых задач.

6) Итоги урока

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

Ян Амос Коменский.