«Решение текстовых задач с помощью уравнений» факультативтік курсы

Какенова Гульшат Ехсановна

Қостанай облысы, Арқалық қаласы, «№10 жалпы орта білім беретін мектеп» ММ математика пәнінің мұғалімі

Содержание

Пояснительная записка ………………………………………………………… 1

Цель и задачи факультативного курса….…..…………………………………. 2 Требования к уровню подготовки обучающихся…………..…………………. 2

Ожидаемый результат…………………………………………………………… 2

Тематическое планирование……………………………………………..…..  3-4

Методические разработки занятий факультативного курса………………   5-47

Использованная литература………………………………………… .……….. 48

Пояснительная записка.

Изучение математики в основной школе  нацелено на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности.

Большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач. По этим причинам возникла необходимость более глубокого изучения традиционного раздела элементарной математики: решение текстовых задач. Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе, поэтому представленный факультативный курс «Решение текстовых задач с помощью уравнений » вводится с 9-го класса.

Факультативный курс сможет удовлетворить потребности учеников, склонных к более глубокому изучению математики, а также дает возможность проявиться каждому ученику. Преподавание факультатива строится как повторение и углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса по математике основной школы.    Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Факультативные занятия дают возможность шире и глубже изучить программный материал и поработать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрить принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают разрешить основную задачу: как можно полнее развивать потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки учащихся.

Данный курс имеет общеобразовательный  характер, освещает роль и место математики в современном мире. Всего на проведение занятий отводится 17 часов. Курс состоит из четырех тем: «Текстовые задачи и техника их решения», «Решение задач с помощью линейных уравнений», «Решение задач с помощью квадратных уравнений», «Решение логических задач с помощью уравнений».  Темы занятий независимы друг от друга и могут изучаться в любом разумном порядке. Сложность задач нарастает постепенно. Прежде, чем приступать к решению трудных задач, надо рассмотреть решение более простых, входящих как составная часть в решение сложных.

В ходе изучения материала данного курса целесообразно сочетать такие формы организации учебной работы, как практикумы по решению задач,  лекции, беседа, частично-поисковая деятельность, групповая работа, работа в парах с применением новых подходов  в преподавании  и  обучения.  

Цель факультативного курса:

  • развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики;
  • систематизировать имеющиеся знания о типах и способах решения текстовых задач с помощью уравнений;

 Задачи:

  • повысить интерес к предмету;
  • формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач;
  • формировать основы функциональной грамотности;
  • развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания;

Требования к уровню подготовки обучающихся.

В результате успешного изучения курса учащиеся должны знать:

  • основные методы и алгоритмы решения текстовых задач с помощью уравнений;

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

  • определять тип задачи, знать алгоритм решения;
  • применять полученные математические знания в решении прикладных задач и задач с практическим содержанием;
  • использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала основного курса, расширения кругозора и формирования мировоззрения, раскрытия прикладных аспектов математики.

Ожидаемый результат:

В процессе обучения учащиеся  решают задачи с помощью уравнения различного уровня сложности, включая задачи практического содержания;   владеют рациональными приемами работы; имеют развитое логическое  мышление, обладают основами математической грамотности.

Тематическое планирование

занятия   Содержание учебного материала   Кол-во часов Форма работы   Дата  
  I. Введение  в  факультативный курс.      
1 Текстовые задачи и техника их решения. 1 Лекция с необходимым минимумом задач.  
  II. Решение задач с помощью линейных уравнений. 8    
2 Задачи на движение. 1 Мини лекция с необходимым минимумом задач  
3 Практикум по решению задач на движение. 1 Практикум по решению задач.  
4   Задачи на совместную работу. 1 Мини лекция с необходимым минимумом задач.  
5   Практикум по решению задач на совместную работу. 1 Практикум по решению задач  
6   Задачи на проценты 1 Мини лекция с необходимым минимумом задач.  
7 Практикум по решению задач на проценты. 1 Практикум по решению задач.  
8 Задачи на пропорцию. 1 Мини лекция с необходимым минимумом задач.  
9 Практикум по решению задач на пропорцию. 1 Практикум по решению задач  
  III. Решение задач с помощью квадратных уравнений. 4    
10 Задачи на движение. 1 Мини лекция с необходимым минимумом задач  
11   Практикум по решению задач   на движение. 1 Практикум по решению задач.  
12 Задачи на  совместную работу. 1 Лекция с необходимым минимумом задач  
13 Практикум по решению задач  на  совместную работу. 1 Практикум по решению задач.  
  IV. Решение логических задач различными методами,  в том числе  с помощью уравнений. 3    
14   Решение логических  задач. 1 Мини лекция с необходимым минимумом задач.  
15 Решение задач с практическим содержанием 1 Мини лекция с необходимым минимумом задач.  
16 Практикум по решению задач. 1 Практикум по решению задач  
17   Итоговое занятие. 1 Математическая конференция: создание сборника  с использованием задач составленных учащимися.  

         Использованная литература:

  1. С.А. Шестаков, Д.Д. Гущин ЕГЭ 2012 Математика задача В13. Задачи на составление уравнений. М.: МЦНМО, 2012 г.
  2. М.А. Иванов. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. Учебное пособие. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2012г.
  3.  Симакин М.В., Егоркина Н.В., Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс 9-летней общеобразовательной школы. – Кокшетау, 2010г.   
  4.  Егоркина Н.В. Абитуриент 1,2  часть. Домашний репетитор.- Келешек 2030, 2010г
  5. Звавич Л.И. Алгебра и начало анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1999г.
  6. Математика. Учебно-методическое пособие (2003 – 2009 года). – Астана: Национальный центр государственных стандартов образования и тестирования, 2003-2009 г
  7. Руководство  для учителя. Третий (базовый) уровень. Программа курсов повышения квалификации педагогических работников РК – АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»,  2012г

Методические разработки занятий

по факультативному курсу

«Решение текстовых задач

с помощью уравнений»

Автор: учитель математики СОШ№10

Какенова Гульшат Ехсановна

Занятие №1.

Глава 1. Введение  в  факультативный курс

Тема занятия: Текстовые задачи и техника их решения.

Цель: ознакомить учащихся с техникой решения текстовых задач, с понятиями  структура задачи, классификация задач методы решения, этапы решения задач и приёмы их выполнения; повысить интерес к предмету;

формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся.

Ход занятия:

1. Организационный момент: ознакомление с содержанием, целями и задачами курса

2. Мини лекция «Текстовые задачи и техника их решения»

Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых надо её решать. Всё это называется анализом задачи.

Текстовые алгебраические задачи можно условно классифицировать по типам:

  • задачи на движение;
  • задачи на совместную работу;
  • задачи, связанные с понятием «процента»;
  • задачи на смеси и сплавы.
  • задачи на прогрессии;

Стандартная схема решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов:

  1. Обозначение буквами x, y, z, … неизвестных величин, о которых идет речь в задаче.
  2. Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях – систем неравенств).
  3. Решение полученного уравнения или системы уравнений.
  4. Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Выбирая неизвестные и составляя уравнения, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).

3. Практическая часть: рассмотрение решения нескольких видов  задач.

Рассмотрим примеры решения некоторых типов задач из приведенной выше классификации.

Задача №1.    Моторная лодка прошла путь от А до В по течению реки за 3 часа, а обратный путь за 4,5 часа. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость лодки в стоячей воде 25км/ч.

Решение:

  Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км)
По течению 25+х 3(25+х)
Против течения 25-х 4,5ч 4,5(25-х)
В стоячей воде 25    
Течение Х    

Составление уравнения: 3(25+х)=4,5(25-х)

Решим уравнение

75+3х=112,5-4,5х

7,5х=37,5

 х=5

Поверка: 75+3*5=112,5-4,5*5

                      90=90

Ответ: скорость течения 5км/ч

Задача №2.Токарь должен был изготовить в срок 450 деталей. Перевыполняя ежедневно норму на 10 деталей, он изготовил 480 деталей за 3 дня до срока. Сколько деталей в день составляла норма?

Решение:

  За 1 день (деталей) Время (дни) Количество деталей
По плану   х     450
Фактически     х+10       480

 Составим уравнение:

Решим уравнение

Отсюда следует,  что х1=30   или   х2=-50 (не удовлетворяют условию задачи)

Ответ: 30 деталей

Задача №3. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, она сторона которого на 10м больше другой, обнесла изгородью. Найдите длину изгороди, если площадь участка 1200м2.

Решение:

Пусть ширина-х, тогда длина – х+10.

Составим уравнение: х(х+10)=1200

Решая уравнение получим, х2+10х-1200=0

Отсюда следует,  что х1=30   или   х2=-40 (не удовлетворяют условию задачи). Тога 30+10=40(м)

(30+40) 2=140(м)

Ответ: 140 метров

4 . Подведение итогов занятия, рефлексия.

 Кто узнал что-то новое, кому было все понятно – приклеивает стикер на первый смайлик,

У кого остались  вопросы – на второй

   Кому было некомфортно в группе, у кого осталось еще много вопросов-  

   на третий    

Занятие №2.

Глава 2. Решение задач с помощью линейных уравнений.

Тема занятия: Задачи на движение.

Цель: формировать математические знания, необходимые  при решении текстовых задач на движение; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2. Мини лекция «Задачи на движение, решаемые с помощью линейных уравнений»

Памятка решения задач с помощью уравнений (формулируют учащиеся)
1. Обозначим неизвестную величину переменной. 
2. Выразим через неё другие величины. 
3. Найдём зависимость между ними и на основании этой зависимости составим уравнение. 
4. Решим уравнение. 
5. Найдём ответ на вопрос задачи. 
6. Проверим правильность решения задачи. 
7. Запишем ответ. 

3. Практическая часть занятия: совместная работа учителя и учащихся.

Задача 1. Автомашина за 3,5 ч проехала на 10 км больше, чем мотоцикл за 2,5 ч. Скорость мотоцикла на 20 км/ч больше, чем скорость автомашины. Найдите скорость автомашины и скорость мотоцикла. 

Решение:

Пусть х (км/ч) – скорость автомашины, тогда скорость мотоцикла х + 20 (км/ч). Составляем уравнение по условию задачи:

3,5х – 2,5 * (х + 20) = 10

3,5х – 2,5х – 50 = 10

х = 10 + 50

х = 60 (км/ч) – скорость автомашины

60 + 20 = 80 (км/ч) – скорость мотоцикла

Проверка: 3,5 * 60 – 2,5 * 80 = 10

                  210 – 200 = 10

                   10 = 10

Ответ: скорость автомашины 60 км/ч; скорость мотоцикла 80 км/ч.


Задача 2. Лодка проплыла от одной пристани до другой против течения реки за 4 ч. Обратный путь занял у нее 3 ч. Скорость течения реки 1 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и расстояние между пристанями. 

Решение:

Пусть х км/ч-скорость лодки, тогда скорость по течению будет х+1км/ч, а против течения х-1км/ч 

4(х-1)км-путь, пройденный против течения

3(х+1)км-путь, пройденный по течению 

По условию расстояние одно и тоже

4(х-1)=3(х+1)

4х-4-3х-3=0

х=7км/ч- собственная скорость  лодки

4(7-1)=4*6=24км-расстояние между пристанями 

Пусть x км/ч- собственная скорость, тогда (х-1)-скорость против течения реки, а (х+1)-скорость против течения реки. Итак лодка туда и обратно прошла одинаковое  расстояние то расстояние по течению равно расстоянию против течения, т.е.

4*(х-1)=3*(х+1)

4х-4=3х+3

4х-3х=4+3

х=7

7 км/ч – собственная скорость лодки

чтобы найти расстояние подставляем х в исходное уравнение:

3*(7+1)=3*6=24 км-расстояние между пристанями

Ответ:7 км/ч, 24 км.

4. Подведение итогов занятия.

Рефлексия «Портфель, мясорубка, мусорная корзина» 

 У меня все получилось, я все понял          Кое – что осталось не понятным                Было много непонятно

Занятие №3.

Глава 2. Решение задач с помощью линейных уравнений.

Тема занятия: Практикум по решению задач на движение.

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на движение; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания; формировать умение работать в парах и в группе.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

Создание благоприятной  атмосферы, психологический настрой: прием «Комплименты».

2. Практическая часть

Учащиеся делятся на группы с помощью конфет с разноцветными фантиками. 

Каждая группа получают задание на группу:

изучить схему, составить условие задачи   и решить её,  презентовать решение в виде постера.

 Решить задачу, заполняя таблицу:

Таблица № 8

Величины V – скорость, км/ч t – время, ч S – расстояние, км
I      
II.      
       

Фермер ехал от села до станции на велосипеде со скоростью 15км/ч, а от станции до города поездом со скоростью 50км/ч. Весь путь он проехал за 5ч. Сколько часов он ехал на велосипеде и сколько поездом, если поездом он проехал расстояние, на 55км большее, чем на велосипеде?
 Составить и решить задачу на основе следующего уравнения:
12к – 4·(6 – к) = 8.
 Составить и решить задачу на основе тождества:
6·80 – 5·(100 – 80) = 380.
Проверить это равенство. Заменить в нем число 80 буквой х. Рассказать условие составленной задачи.

Моторная лодка проплыла расстояние между двумя пристанями по течению реки за 6 часов. Это же расстояние против течения лодка проплыла за 8 часов. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,5км/ч.

Решение

Пусть скорость лодки равна  – х
скорость по течения равна  – x+2.5
скорость против течения  – x-2.5
6(х+2,5)=8(х-2,5)

6х+15=8х-20

2х=35

х=17,5
Ответ 17,5км/час

Обмен информацией

Группы представляют результаты своей работы: зачитывают задачи, показывают решение и схемы, определяют вид задачи, отвечают на вопросы, которые возникли у учащихся.

Работа в парах: 

1.Из двух пунктов реки на встречу друг другу движутся две моторные лодки, собственные скорости которых равны. До встречи лодка, идущая по течению, прошла 1 ч., а лодка, идущая против течения, 1,5 часа. Найдите собственную скорость лодок, если лодка , идущая по течению по течению до встречи прошла на 1 км больше другой лодки .Скорость течения реки 3 км /ч .

[1,1(х+3) – 1,5(х-3) =1]
  • Из двух пунктов реки , расстояние между которыми 51 км , на встречу друг другу движутся две моторные лодки , собственные скорости которых равны . Скорость течения реки 3 км/ч. Лодка , идущая по течению , до встречи прошла 1,5 ч ., а лодка , идущая против течения , 2 ч. Найдите собственную скорость лодок.
[1,5(х+3) + 2(х-3) = 51]

3. Творческое задание: каждой группе составить несколько задач на движение.

3. Подведение итогов:

Итак, что необходимо сделать,  чтобы  решить задачу на движение? При решении задач на движение рекомендуется сделать  схему в виде таблицы или рисунка, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

4. Рефлексия: «Лестница  успеха»: каждый ученик с помощью человечков из стикера  определяет, на какой из трех ступеней находится.

Занятие №4.

Глава 2. Решение задач с помощью линейных уравнений.

Тема занятия: Задачи на совместную работу

Цель: формировать математические знания, необходимые при  решении текстовых задач на  совместную работу; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2. Мини лекция «Задачи  на совместную работу, решаемые с помощью линейных уравнений»

Задачи «на совместную работу»

Умение применять уравнения является очень важным, но надо стремиться формировать его с опорой на умение рассуждать, ставить вопросы, отвечать на них, проверять правильность полученного ответа, то есть на умения, полученные при работе с арифметическими методами решения задач.

Задача 1. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый изготовил на 8 деталей меньше второго. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Это начальный уровень, с задач такого типа начинается изучение данной темы. Эти задачи имеют схожие формулировки в них 2 неизвестных, одно из которых на сколько то больше другого и дана их сумма. 

Задача 2. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер и на 5 г больше, чем шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
В задаче  используются предлоги «в» и «на» и нужно найти все 3 неизвестные.

Задача 3. Норма выработки за смену на новом токарном станке на 30 деталей больше, чем на старом. При этом на пяти новых станках можно обработать за смену столько же деталей, сколько за то же время на восьми старых. Какова норма выработки на новом станке?

Задача 4. Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму на 16 м3, поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она выполнила за 4 дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?

Задачи 3 и 4 имеют схожие формулировки, есть выработка по норме и фактическая, которая на сколько то больше нормальной.

Решение задачи 4: Пусть х – количество кубометров леса, которое бригада заготавливала в день фактически.  Тогда х – 16 – количество кубометров леса, которое бригада должна заготавливать в день по плану.  Получаем уравнение:
 , из которого х = 48.

Ответ: 48 м3 леса заготовляла бригада в день.

При совместной работе складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники.

Решение задачи:

  1.  часть всей работы выполнит первый плотник за 1 год;
  2.  часть всей работы выполнит второй плотник за 1 год;
  3.  +   =   часть всей работы выполнит первый и второй плотники за 1 год.
  4. 1 :   = 2 (года) время выполнения всей работы сообща.

Ответ: 2 года.

Вывод: при решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за 1 – “целое”, а часть работы, выполненная за единицу времени, находится по формуле.

 Разберем решение двух задач

Задача 1. В городе есть водоем. Одна из труб может заполнить его за 4 часа, вторая – за 8 часов, а третья – за 24 часа. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу 3 трубы?

Решение задачи:

  1. 1: 4 =   (водоема) наполнится через 1 трубу за 1 час;
  2. 1 : 8 =   (водоема) наполнится через 2 трубу за 1 час;
  3. 1 : 24 =  (водоема) наполнится через 3 трубу за 1 час;
  4.   (водоема) наполнится через 3 трубы за 1 час;
  5.  

(часа) время наполнения водоема через 3 трубы.

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполнится за   часа.

Задача 2. Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3 часа, а другой – за   часа. Через сколько времени они встретятся?

Решение задачи: это тоже задача на “совместную работу”, хотя никто не работает. Но можно считать, что “работа” пешеходов – это прохождение пути. Поэтому весь путь принимается за “единицу” и вычисляется часть пути, пройденная каждым пешеходом.

  1. 1: 3 =   (расстояния) проходит 1 пешеход за 1 час;
  2.   (расстояния) проходит 2 пешеход за 1 час;
  3.   (расстояния) сближаются оба пешехода за 1 час;
  4.   (часа) пешеходы встретятся.

Ответ: через   часа.

3. Подведение итогов занятия.   Рефлексия  «Допиши предложение»

  • сегодня я узнал…
  • было интересно…
  • было трудно…
  • я выполнял задания…
  • я понял, что…
  • теперь я могу…
  • я почувствовал, что…
  • я приобрел…
  • я научился…
  • у меня получилось …
  • я смог…
  • я попробую…
  • мне захотелось…

Занятие №5.

Глава 2. Решение задач с помощью линейных уравнений.

Тема занятия: Практикум по решению задач на совместную работу

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на совместную работу; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания;

 Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

Создание благоприятной  атмосферы, психологический настрой: игра «Имена».  Подготовка  к работе в группе (деление  на группы происходит по цветам стикера)

 2. Работа в группах

1. Задача.

Вини Пух съедает банку меда за 3 часа, а его друг Пятачок за 4 часа. За какое время они вдвоем съедят такую банку меда, если будут есть со своей обычной производительностью? 
(Дети предлагают решение задачи) 
Решение: Всю работу (съесть целую банку меда) примем за единицу (можно изобразить условие на рисунке). 
“Производительность” Вини Пуха – 1/3 банки в час. 
“Производительность” Пятачка – 1/4 банки в час. 
Общая “производительность” 1/3+1/4=7/12 банки в час. 
Если предположим, что всю работу, то есть съесть банку меда, они смогут за х часов. 
Вся работа будет равна производительности, умноженной на время ее выполнения. 
1=7\12•х. Отсюда время совместного выполнения работы. 
2.Задача.

Крокодил Гена, Чебурашка и старуха Шапокляк решили подготовить площадку, на которой они будут строить дом для друзей. Гена, работая один, может выполнить всю работу за 12 часов, Шапокляк – за 15 часов, а Чебурашка – за 20 часов. Какую часть работы каждый из них может выполнить за 1 час? Какую часть работы выполнят они вместе за 1 час. 
(После обсуждения оформляют решение задачи в виде таблицы) 

  Вся работа Время Производительность
Крокодил Гена 1 12 ч 1/12
Чебурашка 1 20 ч 1/20
Шапокляк 1 15 ч 1/15

При решении задач на совместную работу «Целое» принимаем за 1;  Часть работы за единицу времени – p=1:T,  где p-искомая часть работы, T – время работы, а  Время работы – T=1:p.

Тогда ответим на вопрос задачи:

  1. 1 : 12 = (работы) – выполнит Крокодил Гена.
  2. 1 : 20 = (работы) – выполнит Чебурашка.
  3. 1 : 12 = (работы) – выполнит Шапокляк.
  4. (работы) выполнят вместе.
  5. (ч) справятся, работая вместе.

Ответ: 5 часов.

4. Рейтинговая самостоятельная работа.

 На карточках условия текстовых задач. Вы можете решить одну из предложенных задач по выбору. Решения задач проверяется через интерактивную доску.

1) Задача 1 (3 балла) Мастер делает всю работу за 3 часа, а его ученик – за 6 часов.

а) Какую часть работы делает каждый из них за 1 час?
б) Какую часть работы сделают они вместе за 1 час?
в) За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

2) Задача 2 (4 балла) Бассейн заполняется через 2 трубы за  часа. Если открыть одну первую трубу, то бассейн наполнится за 6 часов. За сколько времени наполнится бассейн через одну вторую трубу?

3) Задача 3 (5 баллов) Чтобы выкачать из цистерны нефть, поставили два насоса различной мощности. Если бы действовали оба насоса, цистерна оказалась бы пуста через 12 минут. Оба действовали в течение 4 минут, после чего работал только второй насос, который через 24 минуты выкачал всю остальную нефть. За сколько минут каждый насос, действуя один, мог бы качать всю нефть?

5. Творческое задание: каждой группе составить несколько задач на совместную работу.

6. Рефлексия.

1) Достаточно ли знаний было, чтобы решить задачи?
2) Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
3) Какое открытие вы сделали для себя?

Составить по схемам текст задачи с решением.

Например,  два туриста вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 22,5 км, и встретились через3 часа. С какой скоростью шел каждый из них, если известно, что скорость одного на 1,5 км/ч больше скорости другого? ( 7 класс)

Если x км/ч – скорость, с которой шел первый турист, то скорость второго туриста x+1,5 км/ч.

Сделаем рисунок, который поможет нам составить уравнение

Первый турист прошел до встречи 3x км, а второй 3(x+1,5) км. В сумме эти расстояния составляют 22,5 км:

                                         x+3(x+1,5)=22,5

Решим это уравнение: x=3.

Первый турист шел со скоростью 3 км/ч, а второй – со скоростью 3+1,5=4,5 км/ч.

  Ответ : 3 км/ч; 4,5 км/ч.

Занятие № 6.

Глава 2. Решение задач с помощью линейных уравнений.

Тема занятия: Задачи на проценты

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на  проценты; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2. Мини лекция «Задачи на проценты, решаемые с помощью линейных уравнений»

Метод «Ассоциации»  ( учащиеся высказывают свои ассоциации связанные со словом « проценты»)

Задачи «на проценты» – в большинстве случаев являются экономическими задачами, в которых идёт речь о вкладах в банк с тем или иным процентом. При их решении надо помнить, что процент есть сотая доля числа. Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Рассмотрим эти алгоритмы.

  1. Пусть известна некоторая величина А, надо найти а % этой величины.

Если считать, что А есть 100%, а неизвестная часть х это а %, то из пропорции

  имеем  .

  • Пусть известно, что некоторое число b составляет а % от неизвестной величины А. Требуется найти А.

Рассуждая аналогично, из пропорции получаем       .

  • Пусть некоторая переменная величина А, зависящая от времени t, в начальный момент t0 имеет значение А0, а в момент t1 – значение А1.

Тогда абсолютный прирост величины А за время t1–t0 будет равен А1–А0; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле , а процентный прирост по формуле  .

Задача №1. Учитель зарабатывает на 25% меньше, чем профессор. На сколько процентов больше, чем учитель, зарабатывает профессор?  

 Решение

Пусть a – зарплата профессора, тогда a−25a100=3a4 – зарплата учителя, так как по условию он зарабатывает на 25% меньше профессора, то есть зарплата профессора составляет 100%. Далее за 100% берем зарплату 3a4 учителя. Тогда зарплата профессора составляет 100⋅a:3a4=4003% зарплаты учителя, что на 4003−100=1003 % больше.

Ответ: 100/3 %

Задача №2. Найти число, если известно, что 25% его равны 45% от 640 000.

 Решение:

45% от 640 000 равны 640000100⋅45=288000. И это 25% от неизвестного числа. Тогда само число есть 100%, то есть в 4 раза больше (4⋅25=100). Поэтому ответом является число 288000⋅4=1152000

  Ответ: 115200

Задача №3. Первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана выпуска машин. Количество машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорциональным числам 15, 16 и 18. Определить перевыполнение годового плана выпуска в процентах, если во втором квартале автозавод выпустил продукции на 8% больше, чем в первом.

Решение:

Пусть x,y,u,v – количество машин, выпущенных соответственно за первый, второй, третий и четвертый кварталы. Если A – годовой план выпуска машин, то x=0,25A, y:u:v=15:16:18 и y=1,08x=0,27A. Получаем пропорции: yu=1516 и yv=1518. Откуда u=1615⋅0,27A=0,288A и v=65⋅0,27A=0,324A. Тогда количество машин, выпущенных за четыре квартала, равно x+y+u+v=0,25A+0,27A+0,288A+0,324A=1,132A. Значит, годовой план перевыполнен на 13,2%.

Ответ: 13,2 %

Задача № 4. Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям сроком на год. Организация A получила кредит в размере 40% от выделенной суммы под 30% годовых, организация B — 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация C. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какие проценты был выдан кредит организации C?

Решение: Пусть S – сумма, выделенная банком на кредиты организациям А, В и С, α – проценты (в долях), под которые был выдан кредит организации С. Тогда организации А был выделен кредит в размере 0,4S, который через год принес банку прибыль, равную 0,4S⋅0,3=0,12S. Организации В был выделен кредит в размере (S−0,4S)⋅0,4=0,24S, который через год принес банку прибыль, равную 0,24S⋅0,15=0,036S. Организации С был выделен кредит в размере S−0,4S−0,24S=0,36S, который через год принес банку прибыль, равную 0,36Sα. Суммарная прибыль равна 0,156S+0,36α и она равна также 0,12S. Получаем уравнение, из которого α=0,15.

Ответ: 15%

3. Подведение итогов занятия:

Для чего необходимы знания и умения процентов в жизни; где в повседневной жизни могут понадобиться знание и умение решать задачи на проценты  (примерные ответы детей: когда работаешь с  банковскими  вкладами и кредитами, в магазинах при покупке товара со сниженными ценами и т.д)

4. Рефлексия:

Определяем настроение с помощью смайликов настроение на конец  занятия:  

Занятие №7.

Глава 2. Решение задач с помощью линейных уравнений.

Тема занятия: Практикум по решению задач на проценты.

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на проценты; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания; формировать экологическую грамотность.

 Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

Создание благоприятной  атмосферы, психологический настрой: прием «Мы такие разные».

2. Практическая часть

Деление на группы: «Скидка и распродажа», « Рост и повышение»

С помощью карточек  с заданиями происходит деление на группы: учащиеся выбирают карточку со знаками «+» или  «  » и придумывают  короткое предложение, Например, на знак «+» прибыль в банке составила 10%, на знак «  » – команда   уценка в магазине 40% и т.д. Таким образом формируются группы.  Каждая группа получает задание, состоящее из двух задач, оформляет на бумаге А4.

Группа «Скидка и распродажа»

 Задача 1.  Цена на товар была повышена на 24% и составила 3720 тенге. Сколько стоил товар до повышения цены?

Задача 2. Стоимость покупки с учетом двухпроцентной скид­ки по дисконтной карте составила 14700 тенге. Сколь­ко бы пришлось заплатить за покупку при отсутствии дисконтной карты?

Группа « Рост и повышение»

Задача 1.  Цена па товар была снижена на 17% и составила 2490 тенге. Сколько стоил товар до снижения цены?

Задача 2.  Стоимость покупки с учетом трехпроцентной скид­ки по дисконтной карте составила 19400 тенге. Сколько бы пришлось заплатить за покупку при отсутствии дисконтной карты?

Представитель каждой группы  объясняет    решения задач у доски.

Учащиеся получают задания, работа ведется в парах.

Работа в парах.  Решение задач экологического содержания.

Задача 1. Задание от эколога.

Выберите любой цветок и выполните вычисления. Вы узнаете, на сколько процентов снижается количество микробов в комнате от летучих фитонцидов комнатных растений.

Цветок Какой   % составляет количество микробов от фитонцидов Ответ
Туя 335 от 500 ?
Хризантема 33 от 50 ?
Аспарагус 1,9 от 5 ?
Бегония или герань 0,86 от 2 ?

Задача 2. Задание от продавца – покупателю

Праздничная распродажа любителям комнатных цветов! Цены снижены на 10%.Найдите новую цену.

Драцена  1600 т.         Роза   1800 т         Хлорофитум 920 т.         Фиалка 420т.        Диффенбахия 3000т

Задача 3. Задание от учителя.

Вычислить: какой процент учащихся закончили четверть на“4” и “5”

1) В классе 28 учеников, 19 из них учатся на “4” и “5”. Ответ округлить до десятых процента

2) 12 учеников посещают спортивные секции,16 учеников посещают различные кружки. Какой процент учащихся посещают спортивные секции, кружки?

Задача 4. Задание от бухгалтера.

  • Ставка сотрудника – 13 500 тенге.
  • Доплата за совмещение обязанностей – 60 %
  • Доплата за командировку 10%
  • Какова заработная плата сотрудника?
  • Премия 45% от начисленной суммы.
  • Налоги  13% (вычесть).
  • Какую сумму получит сотрудник?

3. Подведение итогов занятия

Сколько различных задач на проценты мы можем встретить в жизни? Основные задачи на проценты в жизни: скидка и надбавка, сравнение получаемой выгоды.

4. Творческое задание: каждой группе составить несколько задач на движение.

5. Рефлексия: «Дерево успеха»:

Ребятам раздаются листы стикеры, которые нужно приклеить на дерево:

Жёлтый листочек  – если занятие не понравилось

Зелёный  листочек  – если занятие понравилось

Занятие №8.

Глава 2. Решение задач с помощью линейных  уравнений.

Тема занятия: Задачи на пропорцию.

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на  проценты; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

3. Мини лекция «Задачи на пропорцию, решаемые с помощью линейных уравнений» с решением практических задач.

Задача №1. За 5кг товара заплатили 325тенге. Вычисли стоимость 11кг этого товара.

1) Масса товара и его стоимость — прямо пропорциональные величины, т.к. при увеличении массы, стоимость увеличивается во столько же раз.

2) Обозначим стоимость 11кг товара буквой  х . Составим пропорцию.

3) Применим основное свойство пропорции. Найдём х.

4) Ответим на вопрос задачи.

Краткая запись задачи:

        5кг     —   325 тенге.   

        11кг     —     х тенге.

Составим пропорцию – уравнение.  5*11=325*х

Применим основное свойство пропорции и найдём х.

5х=11*3205

х=(11*325):5

х=715 (тенге)

Ответ: товар стоит 715 тенге

Задача №2. 16 маляра выполнили работу  за 21ч. Сколько понадобится маляров, чтобы выполнить эту работу за 12ч?

1) Количество маляров и продолжительность работы при одинаковой производительности труда каждого солдата обратно пропорциональные величины.

2) Обозначим количество маляров, которые смогут выполнить работу за 12ч y. Составим пропорцию. 

3) Применим основное свойство пропорции. Найдём у. 

4) Ответим на вопрос задачи.

Краткая запись задачи:

    16маляров   —    21ч.     

       у маляров    —   12ч.   

Составим пропорцию.

16/у=12/21

Применим основное свойство пропорции и найдём у.

16*21=12*у

16у=336

у=28

Ответ: чтобы выполнить работу за 12ч понадобится 28маляров.

Задача 3. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%.  Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

5:100 = х:98.

х=(5·98):100;

х=4,9  

Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение. 

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

х:100 = 9:18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

Ответ: площадь всего поля 50 га.

3. Подведение итогов занятия

 Запомните!

Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д.

4. Рефлексия: «Светофор»

  • Карточка красного цвета: «Я удовлетворен уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, я понимал все, о чем говорилось и что делалось на уроке»
  • Карточка желтого цвета: «Урок был интересен и я принимал в нем активное участие, урок был в определенной степени полезен для меня, я отвечал с места, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно»
  • Карточка зеленого цвета: « Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чем идет речь, мне это не очень нужно»

Занятие №9.

Глава 2. Решение задач с помощью  линейных  уравнений.

Тема занятия: Практикум по решению задач на пропорцию.

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на  совместную работу; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2. Деление на группы.

Учащиеся получают разрезанные картинки, собирая которые происходит  деление на группы.

3. Практическая часть занятия.

Решить задачи,  составив уравнение. Решение задачи необходимо оформить в виде постера и защитить его.

Задача 1. На участке дороги бетонные плиты длиной 6 м заменили новыми, длиной 8м. Тогда для замены 240 старых плит, новых потребуется…
Ответ: 180.

Задача 2. Для перевозки груза автомашине, грузоподъёмностью 6т надо сделать 10 рейсов, тогда автомашине, грузоподъёмностью 8т нужно сделать..
Ответ: 8 рейсов.

Задача 3 . 24 человека за 6 дней пропололи участок клубники, тогда 36 человек выполнят ту же работу за..
Ответ: 4 дня.

Задача 4. Лётную полосу аэродрома 4 снегоуборочные машины убирают за 15 мин, 6 машин выполнят эту же работу за..
Ответ: 10мин.

Задача 5. При делении числа 434 на части обратно пропорционально числам 2;3;5 получается большее число, равное..
Ответ: 210.

4. Групповая работа  «Мозговой штурм»

Задание на группу: сформулируйте условие задачи  по уравнению.

1 группа              3х+4х+х=56                   

2 группа               2х+5х+3х=50

Группы обмениваются  составленными задачами, и решают их с помощью  уравнение.

4. Творческое задание: каждой группе составить несколько задач на использование пропорции.

5. Рефлексия: «Анкета»

На уроке я работал                          активно/пассивно

Своей работой на уроке я               доволен/недоволен

Урок ля меня показался                   коротким/ длинным

 За урок я                                             не устал/ устал

Мое настроение                                 стало лучше/ стало хуже

Материал урока мне был               полезен/ неполезен

                                                             понятен/ непонятен

                                                              интерес/ скучен

Занятие №10.

Глава 3. Решение задач с помощью квадратных  уравнений.

Тема занятия: Задачи на движение.

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на  движение; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2. Мини лекция «Задачи на движение, решаемые с помощью квадратных  уравнений»

Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:

  1. Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.
  2. Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.
  3. Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у).

При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.


При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.

Пусть расстояние между точками А и В равно S. Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v1 и v2. Пусть С – точка встречи, а t – время движения тел до встречи. В случае движения навстречу друг другу имеем АС=v1t, BC=v2t. Сложим эти два равенства:

АС+СВ=v1t+v2t=(v1+v2)t  Þ  AB=S=(v1+v2)t  Þ  .

Если одно тело догоняет другое, то теперь получаем АС=v1t, BC=v2t. Вычтем эти равенства:


АСВС=(v1–v2)t.

Так как АСВС=AB=S, то время, через которое первое тело догонит второе, определяется равенством

.

3. Практическая часть: совместно с учащимися  рассматриваются решение нескольких задач. 

Задача №1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч – собственная скорость парохода.

Тогда (х+6,5) км/ч – скорость парохода по течению.

    (х–6,5) км/ч – скорость парохода против течения.

Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х–6,5) км/ч, то

     ч. – время движения парохода против течения.

Так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то    ч. – время движения парохода по течению.

По условию

решим полученное уравнение

Откуда получаем квадратное уравнение

            х237х+146,25=0  Þ  х1=4,5 км/ч  и  х2=32,5 км/ч.

Осуществим отбор полученных решений.

Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х1=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).

Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч.

Ответ: v=32,5 км/ч.

Задача №2. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Пройдя 20 км, поезд, идущий из А в В, останавливается на полчаса, затем, пройдя 4 минуты, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов.

Решение:

4 мин.

Отобразим все условия задачи на рисунке.

Заметим, что если время в условии задачи выражено как в часах, так и  в минутах, то минуты надо перевести в часы. В нашем случае 4 мин=4/10 часа=1/15 часа.

Так как в задаче надо определить две величины, введем две переменные и составим два уравнения.

Пусть х км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта А;

    у км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта В.

Так как в задаче известно расстояние, выразим время через скорость и расстояние.

 – время, за которое поезд из А прошел 20 км.

 – время, затраченное поездом из А  до встречи в пункте D.

 – расстояние, которое прошел поезд из А за 4 минуты после остановки.

Тогда поезд из А до встречи в пункте D прошел  км.

 км – расстояние, пройденное поездом из В до встречи.

 – время, пройденное поездом из В до встречи в пункте D.

Так как по условию в пункте D поезда встретились, они затратили на путь до встречи одинаковое время, поэтому получаем первое уравнение

.

С другой стороны, выразим время движения поездов после встречи в пункте D.

Так как , то  – время движения поезда из В после встречи.

Так как , то  – время движения поезда из А после встречи.

По условию .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений с двумя переменными.

Решим систему, для чего из первого уравнения выразим у и подставим это выражение вместо у во второе уравнение.

;

;

.

Решим полученное уравнение

;

;

;

х1=60;   х2=–600.

Так как х – скорость, то х2 не подходит по смыслу задачи. Подставим полученное значение х в выражение для у

.

Ответ: vA=60 км/ч, vB=40 км/ч.

4. Рефлексия: «Две звезды и пожелание».

пожелание

Учащиеся пишут на стикерах свои пожелания.

Занятие №11.

Глава 3. Решение задач с помощью квадратных  уравнений.

Тема занятия: Практикум по решению задач на движение.

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на движение; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

3. Мини лекция «Задачи на движение, решаемые с помощью квадратных с решением практических задач.

4. Групповая работа: деление на группы ( учащиеся делятся на группы , путем вытягивания карточек с рисунками  велосипедиста, автомобилиста)

                       «Велосипедист»                             «Автомобилист»

Задача  первой группе:

  Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км)
Туда х   400км
Обратно х+10    400-2х

 Например, Автобус проехал расстояние между пунктами А и В, равное 400км, с некоторой скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 часа ехал с той же  скоростью, а затем увеличил скорость на 10км/ч и возвратился в пункт А, затратив на обратный путь на 20минут меньше, чем на путь из А в В. Сколько времени затратил автобус на обратный путь?

Ответ:

Задача  второй группе:

  Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км)
Туда Х 4 часа
Обратно х-10  

 Например, Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 часа. На обратном пути первые 100км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10км/ч и поэтому на обратный путь,  затратив на 30минут больше. Найдите расстояние между городами.

Ответ: 1) 200км,    2) 160км.

4. Творческое задание: каждой группе составить несколько задач на движение.

5. Подведение итогов,  рефлексия. «Гора успеха»

Учащиеся определяют, на каком уровне горы они находятся:

                                                на вершине

                   в середине пути

              у подножья

Занятие №12.

Глава 3. Решение задач с помощью квадратных  уравнений.

Тема занятия: Задачи на совместную работу

Цель:

формировать математические знания, необходимые для применения  при решении текстовых задач на  совместную работу;  формировать основы функциональной грамотности;  развивать критическое мышление учащихся;

формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2. Мини лекция «Задачи  на совместную работу, решаемые с помощью линейных уравнений»

Задачи «на совместную работу»

Задачи «на работу» делятся на два вида: на производительность труда и на производительность различных механизмов (труб, насосов и т. д.). Такие задачи часто вычисляются по формуле:

А=P×t

где P – производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени;

      t – время, необходимое для выполнения всей работы.

Пусть P×t=1 – взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно:

Решим задачу на производительность труда.

Задача №1.

Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?

Решение.

Решим эту задачу путём составления системы уравнений.

Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z – третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи:

Надо найти , то есть

Умножим (2) на -2 и сложим почленно с (1). Получим:

Затем умножим (2) на -1,5 и сложим почленно с (1). Получим:

Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z: .

В итоге получим 6.

Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов.

Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений.

Задачи «на работу» сложны тем, что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна.

Задача №2

При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Решение.

Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом – x, а вторым – y часов. Следовательно,  – производительность первого насоса до ремонта, а  –  производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, то составим первое уравнение: , т.е.   .

 – производительность первого насоса до ремонта, а  – производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, то составим второе уравнение: , т.е.   .

Решив оба уравнения можно составить систему:

Умножим (1) на 0,9 и вычтем из него (2):

В итоге получим y=24, x=12.

Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта:

По формуле  найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта: ч.

Ответ: 10 ч.

4. Подведение итогов, рефлексия: «Солнышко»

Закончи предложение: «Моё настроение похоже на:

солнышко                          солнышко с тучкой                     тучка

Занятие №13.

Глава 3. Решение задач с помощью квадратных  уравнений.

Тема занятия: Практикум по решению задач на совместную работу.

Цель: формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач на  совместную работу; формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2. Деление на группы по картинкам: первая группа «Фермеры» и вторая группа –  «Туристы» (учащиеся вытягивают картинку как жребий, вытянувшие одинаковые картинки образуют группу). Таким образом,  формируются группы.

                         «Туристы»                               «Фермеры»

3. Работа в группах:

 Как по вашему, почему мы сегодня разделились по такому принципу?

( примерные ответы учащихся: потому что, будем решать задачи про них и т.д).

Каждая группа получает задание в виде   задачи   по названиям групп:

первая группа « Туристы» решают задачу про туристов,

вторая группа «Фермеры» решают задачу про фермеров.

Задача  для группы  «Туристов».

Туристы должны были пройти путь в 18км за определенное  время. Однако они шли со скоростью на 0,5км/ч большей, чем предполагали, и поэтому прошли намеченный путь на полчаса быстрее. С какой скоростью предполагали  идти  туристы?

  Скорость(км/ч) Время (ч) Расстояние
По плану х 18км
Фактически х+0,5   18км

  .    Получаем х=4 или х=-4,5 ( не удовлетворяет условию)

Ответ: 4км/ч

Задача для  группы «Фермеры»

Фермер намечал засеять 120га за определённый срок. Однако, перевыполняя запланированную ежедневную норму на 10га в день, он сумел закончить сев за 2 дня раньше срока. Сколько гектаров засевал фермер ежедневно?

  За 1 день (га) Время (дни) Площадь
По плану х 120га
Фактически х+10   120га

Составим уравнение:

Решая уравнение, получим х=20 или х=-30 ( не удовлетворяет условию)

20+10=30

Ответ: 30гектаров

Задачи решаются,  и решение оформляется в виде постера, после чего посланники из каждой группы презентуют свое решение другой группе.

4. Творческое задание: каждой группе составить несколько задач на совместную работу

5.Подведение итогов, рефлексия:

Учитель читает притчу:

Внимательно послушайте притчу: 
Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележку с камнями для строительства. 
Мудрец остановил их и задал каждому по вопросу. У первого спросил: “Что ты делал целый день?”. Тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. 
У второго спросил: “А что ты делал целый день?”. Тот ответил: “Я добросовестно выполнял свою работу”. 
А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием. “А я принимал участие в строительстве храма”. Пусть каждый сам оценит свою работу на уроке. 
Я желаю вам всегда работать с радостью и удовольствием.

Занятие №14.

Глава 4.  Решение логических задач с помощью уравнений.

Тема занятия: Решение логических  задач с помощью уравнений.

Цель: научиться решать задачи с практическим содержанием; совершенствовать навыки решения задач,  формировать основы функциональной грамотности; развивать  логику, критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход урока:

1.  Организационный момент

2.  Решение логических  задач с помощью уравнений.

    Решение задач на логику — отличная гимнастика для ума, прекрасный способ развития умственных способностей на каждый день. Чтобы научиться решать классические задачи по логике и логические задачи по математике, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

   Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа.

    К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями. Более сложными и увлекательными типами заданий являются задачи, в которых отдельные утверждения являются истинными, а другие ложными.

3. Практическая часть

Разбор задач на логику

Задача 1.

Если родится сын, ему достанется  всего состояния, жена получит    состояния;

Если родится сын, ему достанется  всего состояния, жена получит     состояния.

Какую часть состояния получит жена, если родятся сын и дочь?

 Задача 2.

В словах «кара», «жара», «жора», «кора», «кожа» каждой букве соответствует определённая цифра. Найдите цифровое обозначение слову «жора» из ниже приведённых: 5373, 4373, 5173, 5143, 4163

Задача 3.

В место вопросительного знака поставьте нужное число:

                3                                     13                                        7                   

45
?
45

7                           6           4                          8               9                       3

Задача 4.

В контрольной работе 20 вопросов, где за каждый правильный ответ дают 7 баллов, за каждый неправильный ответ отнимают 2 балла и 0 баллов за каждый пропущенный вопрос.  Дана набрала 87 баллов. Сколько вопросов она пропустила?          Возможные варианты ответов: 2, 3, 4, 5, 6

5. Рефлексия.

Рефлексия проходит по стратегии

«Плюс,  минус, интересно».

Ученики индивидуально записывают на стикеры свои мнения.

Занятие №15.

Глава 4.  Решение логических задач с помощью уравнений.

Тема занятия: Решение задач с практическим содержанием.

Цель: научиться решать задачи с практическим содержанием; совершенствовать навыки решения задач,  формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2.  Решение задач с практическим содержанием.

№1. Строительной фирме нужно приобрести 75 кубометров пеноблоков. У нее есть 3 поставщика. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой и в какой фирме? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик Стоимость пеноблоков (тенге.за м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия
А 2850 4800
Б 3000 4500 При заказе на сумму более 150 000 тенге.скидка 6%
В 2900 4700 При заказе на сумму более 200 000 тенге.скидка 7%

№2. В квартире проектируется две комнаты одинаковой ширины. Длина первой комнаты в 1,5 раза больше её ширины, а длина второй комнаты 7,2м. Определите, какой ширины должны быть комнаты, если общая их площадь может быть 56,7м2?

Решение: х- ширина, длина 1 комнаты 1,5х,

площадь 1 комнаты равна

площадь второй комнаты равна 7,2х.

По условию задачи составляем уравнение:

х= -9  – не подходит к условию задачи.

Ответ: 4,2

3. Групповая работа

С помощью  игры   «Атомы-Молекулы»:  по количеству атомов в молекулах учащиеся   делятся на группы.

Задания  для групп:  члены группы сообща выбирают задачу, решают ее, и оформляют в виде  постера, после чего защищают свою работу.

№1. Шариковая ручка стоит 40 тенге. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 300 тенге после повышения цены на ручки на 10%?

№2. Хозяин овощной лавки купил на овощном рынке 100кг помидоров и заплатил 4000 тенге. После продажи помидоров оказалось, что за время хранения в лавке 10% помидоров испортились, и хозяин не смог их продать. Остальные помидоры он продал по цене 50 тенге за килограмм. Какую прибыль он получил?

№3. Стоимость путевки в санаторий -6800 тенге. Группа от 5 до 10 человек получает скидку 15%, а группа более 11 человек -20%. Сколько нужно заплатить группе из 9 человек?

Составить задачи по картинкам

3. Рефлексия.

«Две звезды и пожелание».

пожелание

Учащиеся пишут на стикерах свои пожелания.

Занятие №16.

Глава 4.  Решение логических задач с помощью уравнений.

Тема занятия: Практикум по решению задач.

Цель: научиться решать задачи с практическим содержанием; совершенствовать навыки решения задач,  формировать основы функциональной грамотности; развивать критическое мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Ход занятия:

1. Организационный момент: объявление темы урока, цели.

2. Мини тест

1. В апреле некоторого года три воскресенья пришлись на нечётные числа. Какой день был 20-го апреля? 

(A) понедельник       (B) вторник     (C) среда 
(D) четверг             (E) пятница 
2. Чтобы пронумеровать страницы книги с первой по последнюю, потребовалась 4221 цифра. Сколько страниц в этой книге? 

(A) 1108 (В) 1246 (С) 1332 (D) 1533 (Е) 1665 

3. Ребро куба равно 1. Муха ползает по рёбрам этого куба, не проходя по одному ребру дважды (но, возможно, проходя несколько раз через одну вершину). Какой самый длинный путь она может проползти? 

(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12 

4. Четыре футбольные команды сыграли круговой турнир. За победу начисляется 3 очка, за ничью 1 очко. Команды набрали 5, 3, 3 и 2 очка. Сколько было ничьих? 

(A) 5 (В) 4 (С) 3 (D) 2 (Е) 1 

5. Джон может купить бутылку сока за 3 доллара. Пустую бутылку можно сдать за 2 доллара. Сколько бутылок сока может выпить Джон, имея 10 долларов? 

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 9 


Ответы:


1. E 
2. C 
3. C 
4. A 
5. D

3. Творческое задание: каждой группе составить логические задачи.

4. Рефлексия «Портфель, мясорубка, мусорная корзина» 

 У меня все получилось, я все понял          Кое – что осталось не понятным                Было много непонятно

Использованная литература:

  1. С.А. Шестаков, Д.Д. Гущин ЕГЭ 2012 Математика задача В13. Задачи на составление уравнений. М.: МЦНМО, 2012 г.
  2. М.А. Иванов. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. Учебное пособие. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2012г.
  3.  Симакин М.В., Егоркина Н.В., Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс 9-летней общеобразовательной школы. – Кокшетау, 2010г.   
  4.  Егоркина Н.В. Абитуриент 1,2  часть. Домашний репетитор.- Келешек 2030, 2010г
  5. Звавич Л.И. Алгебра и начало анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1999г.
  6. Математика. Учебно-методическое пособие (2003 – 2009 года). – Астана: Национальный центр государственных стандартов образования и тестирования, 2003-2009 г
  7. Руководство  для учителя. Третий (базовый) уровень. Программа курсов повышения квалификации педагогических работников РК – АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»,  2012г