Қалматаева Балауса Бахытжанқызы
преподаватель математики ГККП “Кентауский многопрофильный колледж”

Пояснительная записка.

Основная функция курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике – выявление средствами предмета математики направленности личности, её профессиональных интересов.

Предметно-ориентированные курсы являются пропедевтическими по отношению к профильным курсам по математике, которые имеют более высокий уровень. Присутствие таких курсов в учебном плане учащегося повышает вероятность того, что выпускник после 9-го класса сделает осознанный и успешный выбор профиля, связанного с математикой.

Программы предметно-ориентированных курсов по выбору включают углубление отдельных тем базовых общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, входящих за их рамки.

Курс «Задачи с модулями» дополняет базовую программу, не нарушая её целостность.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулями в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.

Как известно, в настоящее время практика вступительных экзаменов оторвалась от школы, настолько велики «ножницы» между требованиями, которые предъявляют к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему абитуриенту вуз, особенно вуз высокого уровня.

Очевидно одним из способов устранения указанных «ножниц» является изучение данного курса, посвященного трудным вопросам школьной математики, связанными с модулями.

Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике, позволяет подготовить учащихся к поступлению в ВУЗ, тем самым исключая противоречие между требованиями системы высшего образования и итоговой подготовкой выпускников учреждений среднего образования. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

Изучение элективного курса способствует процессу самоопределения учащихся, помогает им адекватно оценить свои математические способности, обеспечивая системное включение ребёнка в процесс самостоятельного построения знаний.

Цель данного курса перейти от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому. Научить применять знания при выполнении нестандартных заданий. При решении таких задач школьники учатся мыслить логически, творчески. Это хороший материал для учебно-исследовательской работы, что является пропедевтикой научно-исследовательской деятельности.

Основная задача курса как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого слушателя, не ограничивая заранее сверху уровень сложности задачного материала. Решение задач способствует систематическому углублению изучаемого материала и развитию навыка решения сложных задач.

Основная цель данного курса – подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с задачами, содержащими модули.

Основные задачи данного курса:

−       углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

−       выявить и развить их математические способности;

−       расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач с модулями;

−       повышение уровня математического и логического мышления учащихся;

−       развитие навыков исследовательской деятельности,

−       обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования;

−       обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

Работа элективного курса строится на принципах:

−       научности;

−       доступности;

−       опережающей сложности;

−       вариативности;

−       самоконтроля.

Формы контроля.

−       Рейтинг – таблица

−       Уроки самооценки и оценки товарищей

−       Презентация учебных проектов

О том, что учащийся должен будет представить учебный проект по теме курса, нужно проинформировать его заблаговременно, познакомив с формами такого рода деятельности.

Для того чтобы урок – презентация получился интересным, виды проектов должны соответствовать уровню и интересам учащихся, а также должны быть интересными по форме и содержанию.

Работы могут быть как индивидуальные, так и парные, групповые. Данный урок можно провести в виде конкурса, где победителей определят сами учащиеся.

Административной проверки усвоения материала курса не предполагается, соответствующие задачи не будут включаться в административные контрольные работы.

В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который представляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изучаемый материал.

В свою очередь учитель может провести обучающие самостоятельные работы, которые позволят оценить уровень усвоения вопросов курса.

Формой итогового контроля может стать обучающая самостоятельная работа, собеседование или тестовая работа.

Требования к уровню подготовки учащихся:

−       должны иметь элементарные умения решать задачи повышенного по сравнению с обязательным уровнем сложности;

−       точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач;

−       правильно пользоваться математической символикой и терминологией;

−       применять рациональные приемы тождественных преобразований;

−       использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.

В результате изучения данного курса учащиеся

должны знать:

−       прочно усвоить понятие модуль числа;

−       алгоритмы решений задач с модулями;

−       свойства решений уравнений, неравенств и их систем;

должны уметь:

−       уметь решать линейные, квадратные уравнения с модулем;

−       уметь решать линейные, квадратные неравенства с модулем;

−       строить графики уравнений, содержащие модули;

−       находить корни квадратичной функции;

−       строить графики квадратичных функций;

−       исследовать квадратный трехчлен;

−       знать и уметь применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств и систем.

Содержание обучения.

1.     Решение задач с модулем. (10 часа).

Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение и неравенства вида .

График функции Построение графиков функций, связанных с модулем.

Методы решения уравнений вида:  где – любое действительное число,

Графическое решение неравенства , где  – любое действительное число.

Методы решения уравнений вида:

Методы решения неравенств вида:

Графическая интерпретация.

Методы решения неравенств вида: .

Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину. Метод замены переменной. Решение уравнений.

2.     Нестандартные методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих модули. (7 часа).

Графические и аналитические методы. Классификация задач. Свойства решений уравнений, неравенств и их систем.

Свойства функций в задачах с модулями. Схема исследования функций. Область значений функции.

Презентация учебных проектов

Учебно-тематический план.

№

п/п
Тема
Кол-во

часов
Виды деятельности учащихся
Решение задач с модулями (10 ч)
1.
Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение и неравенства вида , , .
3
Беседа, лекция
2.
График функции , . Построение графиков функций, связанных с модулем.
2
Практикум

Тренажер
3.
Решение уравнений и неравенств различных видов, содержащих модули. Графическая интерпретация.
3
Беседа, лекция

Творческое исследование
4.
Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину. Метод замены переменной. Решение уравнений.
2
Практикум

Тренажер

Самостоятельная работа

Нестандартные методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих модули (7 ч)

1.
Графические и аналитические методы. Классификация задач.
3
Беседа, лекция

2.
Свойства решений уравнений, неравенств и их систем. Свойства функций в задачах c модулями.
3
Творческое исследование

Практикум

3.
Презентация учебных проектов
1
Конкурс

Список основной литературы.

1.     Мордкович А.Г. Алгебра 8. – М.: Просвещение, 2003.

2.     Мордкович А.Г. Алгебра 9. – М.: Просвещение, 2003.

3.     Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9 класс. – М.: Просвещение», 2001.

4.     Егерман Е. Задачи с модулем. 9-10 классы. Математика. – №23. – 2004. – С.18-20.

5.     Егерман Е. Задачи с модулем. 10-11  классы. Математика. – №25-26. – 2004. – С.27-33.

 

Дидактический материал.

 

1.     С помощью графиков докажите, что уравнение имеет два корня. Найдите меньший корень этого уравнения.

2.     Постройте график функции  и найдите наибольшее значение данной функции на отрезке .

3.     Постройте график функции  и найдите наименьшее значение функции на интервале (-2;+ ).

4.     Решить уравнение:

a)     ;

b)    ;

c)     ;

d)    .

5.     Найдите на координатной прямой ( в декартовой системе координат ) точки, удалённые от точки М(4;0) на расстояние 7.

6.     Решите неравенство: <3.

Решение. Данное неравенство равносильно системе двух неравенств:

.

 

Ответ: .

7.     Решите неравенство: .

8.     Решите неравенство: .

Решение. Решая уравнения и  получаем точки 1 и 3, которые делят прямую на три промежутка: ,  и . Решим неравенство на каждом из этих промежутков.

На промежутке : .

На промежутке : – решения нет.

На промежутке : .

Ответ: .

 

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

 

В этом случае целесообразно применять так называемый «классический» способ раскрытия модуля:

 

 

9.     Решите неравенство: .

Решение. Рассмотрим случай , т.е. . Тогда неравенство имеет вид

С учётом условия , получаем .

Если , то ; тогда

С учётом условия  получаем

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ:

 

Задания для самостоятельной работы.

1.     Ответ: (-

2.     2<  Ответ:

3.     2  Ответ:

4.      3  Ответ: .

5.      Ответ: .

6.      Ответ:

7.      Ответ:

8.      Постройте графики функций:

a)     ;

b)    ;

c)     .

 

Введение элективного курса «Задачи с модулями» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕНТ, так и для продолжения образования в  вузе. Владение приемами решения задач с модулем можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.   Решение задач, уравнений с модулями, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с модулями, успешно справляются с другими задачами.